小学大年鳗奥敷,超含智・
比的应用(一)
一、知识要点
我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分
数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的2/3,乙数是丙数的4/5,甲、乙、丙三数的比是
()：()：()o
【思路导航】
甲、乙两数的比2：3
乙、丙两数的比4：5
甲、乙、丙三数的比8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是8：12：15o
练习1:
1.甲数是乙数的4/5,乙数是丙数的5/8,甲、乙、丙三数的比是()：()：
()o
2.甲数是乙数的4/5,甲数是丙数的4/9,甲、乙、丙三数的比是()：()：
()。
3.甲数是丙数的3/7,乙数是丙数的2又1/2,甲、乙、丙三数的比是()：
()：()o
【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，
已知第一小组和第二小组人数的比是2：3,第二小组和第三小组人数的比是4：
5。这三个小组各有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比2：3二、三两组人数的比4：5
一、二、三组人数的比8：12：15
②总份数：8+12+15=35
③第一组：140X8/35=32(人)
④第二组：140X12/35=48(人)
⑤第三组：140X15/35=60(人)
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
练习2：
1.某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2,棉
田与其他作物面积的比6：lo每种作物各是多少公亩？
2.黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是
5：4,第二组与第三组人数的比是3：2O已知第一组的人数比二、三组人数的
总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？
3.科技组与作文组人数的比是9：10,作文组与数学组人数的比是5：70
已知数学组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
【例题3】甲、乙两校原有图书本数的比是7：5,如果甲校给乙校650本，
甲、乙两校图书本数的比就是3：4。原来甲校有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知，原来甲校图书
的本数是两校图书总数的7/(7+5),由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图
书占两校图书总数的3/(3+4),甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总
数的7/(7+5)-3/(3+4)=13/84o
6504-(7/(7+5)-3/(3+4))X7/(7+5)=2450(本)
答：原来甲校有图书2450本。
练习3：
1.小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：50如果再读30页，则已
读和未读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？
2.甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙
两包糖的重量比为7：50原来甲包有多少克糖？
3.五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的
1/3,二班与三班参加比赛人数的比是11：13,二班比三班少8人。一班有多少
人参加了数学竞赛？
【例题4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，
其中大儿子分得1/2,二儿子分得1/3,小儿子分得1/9,但不能把牛卖掉或杀
掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分
完了，你知道这到底是怎么回事吗？
【思路导航】因为1/2+1/3+1/9=17/18,17/18<1,就是说三兄弟并未将
全部牛分完，所以我们求出三个儿子分牛头数的连比，最后再按比例分配。
①三个儿子分牛头数的连比：1/2：1/3：1/9=9：6：2
②总份数：9+6+2=17
③三个儿子各分得牛的头数：17X9/17=9(头)17X6/17=6(头)17X
2/17=2(头)
答：大儿子分得9头，二儿子分得6头，小儿子分得2头。
练习4：
1.图书室取出一批书，按照一年级得1/2,二年级得1/3,三年级得1/7,
正好是41本，各年级各得多少本？
2.古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生
下来是个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是
女孩就把遗产的三分之一给女儿，三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎，
一男一女，这是他没有预料到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人
的比。
(1)从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是()：
()：()。
(2)从母亲至少得遗产的1/3来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是()：
()：()»
3.甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30%,乙比丙多做1/3。
三人各做多少个？
【例题5】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是
3：1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合
液中酒精与水的体积之比是多少？
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容
积的几分之几再解答。
①一个瓶中酒精占瓶子容积的比3/(1+3)=3/4
②另一个瓶中酒精占瓶子容积的比4/(1+4)=4/5
③两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比3/4+4/5=31/20
④水占一个瓶子容积的比2—31/20=9/20
⑤混合液中酒精与水的比31/20：9/20=31：9
答：混合液中酒精与水的比是31：90
练习5：
1.两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5,另一块合金中铜与
锌的比是1：30现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。
2.将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是
2：1,乙队已修的与剩下的比是5：2o这条公路已修了全长的几分之几？
3.光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的5/8,照这样的速度计
算，全年可超产1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？
比的应用(二)
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，
我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍
复杂的比是应用题。
二、精讲精练
【例题1】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走1/5的路，而乙走的时
间比甲少1/11,求甲、乙两人速度的比。
【思路导航】因为速度=路程♦时间，所以，甲、乙速度的比=甲路程/
甲时间：乙路程/乙时间
(1)甲、乙路程的比:(1+1/5)：1=6：5
(2)甲、乙时间的比：1：(1-1/11)=11：10
(3)甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11
答：甲、乙速度的比是12：IE
练习1:
1.小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1/5,小芳用的时间比
小明多1/8。求小明和小芳速度的比。
2.甲走的路程比乙多1/3,乙用的时间比甲多1/4。求甲、乙的速度比。
3.一个人步行每小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。
这个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少？
【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在
有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人
应该分配到多少个零件？
【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等
于工作效率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比：1/6：1/5：1/1.5=15：18：20
总份数：15+18+20=53
甲：1590X15/53=450(个)
乙：1590X18/53=540(个)
丙：1590X20/53=600(个)
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。
练习2：
1.加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825
个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加
工多少个？
2.甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5
分钟，比乙制造一个零件所用的时间多25%,丙制造一个零件所用的时间比甲
少2/5。甲、乙、丙各制造了多少个零件？
3.加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别
能完成零件48个，32个，28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成的零
件个数相同，每道工序应安排多少工人？
【例题3】两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5,两厂西服价格的比
是11：10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？
【思路导航】因为产值=价格X产量，所以
甲产值：乙产值=（甲价格X甲产量）：（乙价格X乙产量）
两厂的产值比为：（11X6）：（10X5）=66：50
甲厂产值为：6960X66/（66+50）=3960（元）
乙厂产值为：6960X50（66+50）=3000（元）
答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元。
练习3：
1.甲、乙两个长方形长的比是4：5,宽的比是3：2,面积的和是242平方
厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？
2.苹果和梨的单价的比是6：5,王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3,
共花去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？
3.大、小两种苹果，其单价比是5：4,重量比是2：3。把两种苹果混合，
成为100千克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克
各是多少元？
【例题4】A、B两种商品的价格比是7：3O如果它们的价格分别上涨70元，
它们的价格比就是7：4,这两种商品原来的价格各是多少元？
【思路导航】
解法一：因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差
不变。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比=7：3=21：9现价格比=7：4=28：16
【这样前后项的差都是12,价格涨了（28—21）=7份，是70元】
704-（28-21）=10元A：10X21=210（元）B：10X9=90（元）
解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1”进行
解答。
(1)原来A商品的几个是价格差的几倍7+(7-3)=7/4
(2)后来A商品的价格是价格差的几倍7+(7—4)=7/3
(3)A、B两种商品的价格差是704-(7/3-7/4)=120(元)
(4)原来A商品的价格是120+(7-3)X7=210(元)
(5)原来B商品的价格是120+(7—3)X3=90(元)
答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。
练习4：
用两种思路解答下列应用题：
1.甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：30甲队给乙队54吨水泥后,
甲、乙两队水泥重量的比是3：4o原来甲队有水泥多少吨？
2.甲书架上的书是乙书架上的4/7,两书架上各增加154本后，甲书架上
的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？
3.兄弟两人，每年收入的比是4：3,每年支出的比是18：13。从年初到年
底，他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？
【例题5】如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地
到丙地的路程比是1：2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华
同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙
地。甲、乙两地相距多少千米？g志{
【思路导航】
解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用
的时间，再求出各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比1/4：2/10=5：4
王刚所用的时间1+(5-4)X5=5(小时)
甲地到丙地的路程4X5=20(千米)
甲、乙两地的路程20X(1+2)=60(千米)
解法二：如果李华每小时行4X2=8千米，他将与王刚同时到达丙地。现在
他每小时多行10—8=2千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行
的路程多行了10X1=10千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间10X14-(10-4X2)=5(小时)
甲、乙两地的路程4X5X(1+2)=60(千米)
解法三：如果王刚每小时行10・3=5千米，就能和李华同时到达。由此可
见，王刚走完甲地到丙地的路程，用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度
相比，所用的时间相差1小时。再根据1千米的路程，两种速度所用的时间相差
1/4-1/5=1/20小时。最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程（1/4-1/（104-4-2）=20（千米）
甲、乙两地的路程20X（1+2）=60（千米）
答：甲、乙两地相距60千米。
练习5：
1.一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算
在内）。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距
多少千米？
2.甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比
是6：50甲、乙每小时各做多少个？
3.下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地
的路程的比是2：3o一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地，一辆客
车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。
求甲、乙两地的路程？
III
甲丙乙
比和比例
【内容概述】
两个数相除又叫做两个数的比.
一、比和比例的性质
性质1：若a:b=c：d,则（a+c）：（b+d）=a：b=c：d；
性质2：若a:b=c：d,则（a-c）：（b-d）=a：b=c：d；
性质3：若a:b=c：d,则（a+xc）：（b+xd）=a：b=c：d；（x为常
数）
性质4：若a:b=c：d,则aXd=bXc；（即外项积等于内项积）
正比例：如果a+b=k（k为常数），则称a、b成正比；
反比例：如果aXb=k（k为常数），则称a、b成反比.
二、比和比例在行程问题中的体现
在行程问题中，因为有速度=器，所以：
当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；
当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；
当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比.
1.A和B两个数的比是8：5,每一数都减少34后，A是B的2倍，
试求这两个数.
【分析与解】
方法一：设A为8x,则B为5x,于是有（8x-34）:（5x-34）=2：1,
x=17,所以A为136,B为85.
方法二：因为减少的数相同，所以前后A、B的差不变，开始时
差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34,占开
始的3-1=2份，所以开始的1份为34+2=17,所以A为17X8=136,
B为17X5=85.
2.近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶
至全程的工再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到
11
达安庆西站比提速前早了2小时.问北京西站、安庆西站两地相距多
少千米？
【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？
（-x+56）：x=60：120,即（』x+56）：x=l：2,即x=&+112,
111111
解得x=1232.
即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，
3.两座房屋A和B各被分成两个单元.若干只猫和狗住在其中.已
知：A房第一单元内猫的比率（即住在该单元内猫的数目与住在该单
元内猫狗总数之比）大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单
元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率.试问是否整座房屋A
内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率？
［分析与解】如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应
该是否定的.表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫
占宠物总数的比率.
第一单元第二单元整座房屋
A猫1,狗0,猫率=1/1猫1,狗3,猫率=1/4猫2,狗3,猫率=2/5
B猫3,狗1,猫率=3/4猫0,狗1,猫率=0猫3,狗2,猫率=3/5
4.家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2：3,已
知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5,公鸡、母鸡数量之比是1：3,公
鸭、母鸭数量之比是3：4.试求公鹅、母鹅的数量比.
［分析与解】公鸡占家禽场家禽总数的
15:(3x2x5+4x,x4)=45:46:(3x!x5+4x2x4)=46:47.竺
333345
x-L=1,母鸡占总数的j
公鸭占总数的d—x/-=3,母鸭占总数的
8+7+53+42020
公鹅占总数的工-,母鹅占总数的二-一（2+•1）=_1,
3+21020203+2102020
公鹅、母鹅数量之比为：2.
20203
5.在古巴比伦的金字塔旁，其朝西下降的阶梯旁6m的地方树立有1
根走子，其影子的前端正好到达阶梯的第3阶（箭头）.另外，此时树
立1根长70cm自杆子，其影子的长度为175cm,设阶梯各阶的高度
与深度都是50cm,求柱子的高度为多少？
【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm;
所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍.
于是，影子的长度为6+1.5+1.5X2.5=11.25,所以杆子的长度为
11.25:2.5=4.5m.
6.已知三种混合物由三种成分A、B、C组成，第一种仅含成分A和
B,重量比为3：5；第二种只含成分B和C,重量比为I：2；第三种
只含成分A和C,重量之比为2：3.以什么比例取这些混合物，才能
使所得的混合物中A,B和C,这三种成分的重量比为3：5：2?
【分析与解】注意到第一种混合物种A、B重量比与最终混合物的A、
B重量比相同，均为3：5.所以，先将第二种、第三种混合物的A、B
重量比调整到3：5,再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种混
合物中A、B视为单一物质.
第二种混合物不含A,第三种混合物不含B,所以1.5倍第三种
混合物含A为3,5倍第二种混合物含B为5,即第二种、第三种混
合物的重量比为5：1.5.
于是此时含有C为5X2+1.5X3=14.5,在最终混合物中C的含
量为3A/5B含量的2倍.有14.5・2-1=6.25,所以含有第一种混合
物6.25.
即第一、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6.
7.现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天
数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男
25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、女工各多少
人？
【分析与解】直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程
会比较繁琐.
设开始男工为“1”，此时女工为“k”，有1名男工相当k名女
工.男工、女工人数对调以后，则男工为“k”，相当于女工"k",
女工为“I”.
有k2：1=36：25,所以k=：.
于是，开始有男工数为」-X1100=500人，女工600人.
1+&
8.有甲乙两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时
间快5分钟，在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准.若已知
在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日
开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多1